Question

如图，直线l与x轴交于点P（1，0），与x轴所夹的锐角为θ，且tanθ=

3

2

，直线l与抛物线y=

1

a

x2+bx+c（a＞0）相交于B（m，-3），D（3，n）
（1）求B、D两点的坐标，并用含a的代数式表示b和c；
（2）①若关于x的方程x2+

3

ax+a2-

1

2

a+

1

4

=0有实数根，求此时抛物线的解析式；
②若抛物线y=

1

a

x2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、C两点，顺次连接A、B、C、D得凸四边形ABCD，问四边形ABCD的面积有无最大值或最小值？若有，求出面积的最大值或最小值；若无，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题,压轴题

分析：（1）作DE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，在Rt△PDE中，利用正切的定义得到tanθ=tan∠DPE=

DE

PE

=

3

2

，可求出DE=3，于是确定D点坐标为（3，3）；在Rt△PBF中用同样方法可确定B点坐标为（-1，-3）；再把B（-1，-3）、D（3，3）代入y=

1

a

x2+bx+c得方程组

1 a -b+c=-3 9 a +3b+c=3

，把它看作为关于b、c的方程组，解得b=

3

2

-

2

a

，c=-

3

2

-

3

a

；
（2）①根据根的判别式得到△=（

3

a）²-4（a²-

1

2

a+

1

4

）≥0，整理后得到（a-1）²≤0，根据非负数的性质得到a-1=0，即a=1，即可得到此时抛物线的解析式为y=x²-

1

2

x-

9

2

；
②利用抛物线与x轴两交点的距离公式得到AC=

b2-4• 1 a •c

| 1 a |

=a

b2- 4c a

=

a2b2-4ac

，把b=

3

2

-

2

a

，c=-

3

2

-

3

a

代入整理得到AC=

1

2

9a2+64

，而S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

1

2

AC×3+

1

2

AC×3=3AC，则S_{四边形ABCD}=

3

2

9a2+64

，由于a＞0，9a²+64没有最大值，也没有最小值，即

9a2+64

，没有最大值，也没有最小值．

解答：解：（1）作DE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，如图，
∵点P（1，0），tanθ=

3

2

，D（3，n），
∴OP=1，OE=3，
∴PE=2，
在Rt△PDE中，tanθ=tan∠DPE=

DE

PE

=

3

2

，
∴DE=3，
∴D点坐标为（3，3）；
∵B点坐标（m，-3），
∴BF=3，
在Rt△PBF中，tanθ=tan∠FPB=

BF

PF

=

3

2

，
∴PF=2，
∴OF=1，
∴B点坐标为（-1，-3）；
把B（-1，-3）、D（3，3）代入y=

1

a

x2+bx+c得

1 a -b+c=-3 9 a +3b+c=3

，

解得b=

3

2

-

2

a

，c=-

3

2

-

3

a

；
（2）①根据题意得△=（

3

a）²-4（a²-

1

2

a+

1

4

）≥0，
∴（a-1）²≤0，
∴a-1=0，即a=1，
∴此时抛物线的解析式为y=x²-

1

2

x-

9

2

；
②四边形ABCD的面积无最大值和最小值．理由如下：
AC=

b2-4• 1 a •c

| 1 a |

=a

b2- 4c a

=

a2b2-4ac

，
∵b=

3

2

-

2

a

，c=-

3

2

-

3

a

，
∴AC=

a2( 3 2 - 2 a )2-4a(- 3 2 - 3 a )

=

1

2

9a2+64

，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

1

2

AC×3+

1

2

AC×3=3AC，
∴S_{四边形ABCD}=

3

2

9a2+64

，
∵a＞0，
∴9a²+64没有最大值，也没有最小值，即

9a2+64

，没有最大值，也没有最小值
∴四边形ABCD的面积无最大值和最小值．

点评：本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，当a＞0，y_最小值=

4ac-b2

4a

；当a＜0，y_最，大值=

4ac-b2

4a

；对于一元二次方程的根的判别式和三角函数的定义要熟练运用．