Question

7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，已知OE=OF，CE=AF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA=$\frac{1}{2}$BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AAS或ASA即可证明；
（2）结论：矩形．只要证明对角线AC=BD即可；

解答 （1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠BEO=90°=∠DFO，
在△BOE和△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠DFO}\\{∠BOE=∠DOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$
∴△BOE≌△DOF（ASA）．

（2）解：四边形ABCD是矩形
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
∵OE=OF，CE=AF，
∴OC=OA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC，
又∵OA=$\frac{1}{2}$BD，
∴AC=BD
∴□ABCD是矩形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用知识解决问题，所以中考常考题型．