Question

如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P是边AC上的一动点，PH⊥AB，垂足为H．
（1）求⊙O的半径的长及线段AD的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：（1）由勾股定理求AC的长度；设⊙O的半径为r，则r=

1

2

（AC+BC-AB）；根据圆的切线定理、正方形的判定定理知四边形CEOF是正方形；然后由正方形的性质证得CF=OF=1，则由图中线段间的和差关系即可求得AD的长度；
（2）点P在线段AC上时，通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知，

PH

BC

=

AP

AB

=

AC-PC

AB

，将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式即可．

解答：解：（1）连接AO、DO．设⊙O的半径为r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=

AB2-BC2

=4，
则⊙O的半径r=

1

2

（AC+BC-AB）=

1

2

（4+3-5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切线，
∴AF=AD；
∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，
即AD=3；

（2）点P在线段AC上时．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴

PH

BC

=

AP

AB

=

AC-PC

AB

，
即

x

3

=

4-y

5

∴y=-

5

3

x+4，
即y与x的函数关系式是y=-

5

3

x+4．

点评：本题考查了圆的综合题．解题时综合运用了相似三角形的判定与性质、三角形的内切圆等知识点，通过做此题培养了学生的推理能力，此题综合性比较强，有一定的难度．