精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
29、如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数(即整数的平方),
证明:(1)2a,2b,c都是整数;
(2)a,b,c都是整数,并且c是平方数;
(3)反过来,如(2)成立,是否对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数?
分析:(1)分别令x=0,x=1,x=-1然后代入二次三项式,可得出2a,2b,c都是整数.
(2)分别令令x=2,x=-2,代入二次三项式,然后利用奇偶性可分别得出结论.
(3)令x=1,a=1,b=1,c=1代入即可作出判断.
解答:证明:(1)∵对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数,
∴令x=0,a•02+b•0+c=c,
c是整数且是平方数,
令x=1,-1时a•12+b•1+c,a•(-1)2+b•(-1)+c是平方数,
∴可设a•12+b•1+c=m12①a•(-1)2+b•(-1)+c=n12
②c=k12(m1n1k1均为整数),
①-②得:2b=m12-n12
∴2b为整数(整数相减为依然为整数),
由①得:2a=2m12-2b-2c,
∴2a为整数,
∴2a,2b,c都是整数;

(2)(1)中已证c是整数且是平方数,
令x=2,-2时,可设a•22+b•2+c=m22③a•(-2)2+b•(-2)+c=n22④c=k12(m2n2k1均为整数),
③-④得:4b=m22-n22=(m2+n2)(m2-n2)=2(2b),
∵2b为整数,
∴2(2b)为偶数,则m22-n22为偶数,
∴(m2+n2),(m2-n2)同奇同偶,
则可设(m2+n2)=2m,(m2-n2)=2n(m,n均为整数),
∴4b=2m•2n=4mn,
∴b=mn,
∴b为整数;

(3)令x=1,a=1,b=1,c=1,则ax2+bx+c(6)=3,而3不是平方数.
∴不一定成立.
点评:本题考查完全平方数的知识,综合性较强,难度较大,注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特殊值法.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数(即整数的平方),
证明:(1)2a,2b,c都是整数;
(2)a,b,c都是整数,并且c是平方数;
(3)反过来,如(2)成立,是否对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:初中数学竞赛专项训练02:代数式、恒等式、恒等变形(解析版) 题型:解答题

如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数(即整数的平方),
证明:(1)2a,2b,c都是整数;
(2)a,b,c都是整数,并且c是平方数;
(3)反过来,如(2)成立,是否对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:竞赛辅导:整数的基本知识4(解析版) 题型:解答题

如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数(即整数的平方),
证明:(1)2a,2b,c都是整数;
(2)a,b,c都是整数,并且c是平方数;
(3)反过来,如(2)成立,是否对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数?

查看答案和解析>>

同步练习册答案