Question

17．如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，若点M、N分别是线段AB、AC上的两个动点，则CM+MN的最小值为$\frac{96}{25}$．

Answer 1

分析 首先作C关于AB的对称点D，作DN⊥A于点N，交AB于点M，则此时CM+MN有最小值，且CM+MN=DM，然后利用直角三角形的性质，求得CD的长，继而证得△DCN∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 解：作C关于AB的对称点D，作DN⊥A于点N，交于AB于点M，则此时CM+MN的最小值，且CM+MN=DM，
∵在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∴CE=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴CDD=2CE=$\frac{24}{5}$，
∵∠D+∠ACE=∠A+∠ACE=90°，
∴∠A=∠D，
∵∠CND=∠ACB=90°，
∴△DCN∽△ABC，
∴$\frac{DN}{AC}=\frac{CD}{AB}$，
即$\frac{DN}{4}=\frac{\frac{24}{5}}{5}$，
∴DN=$\frac{96}{25}$．
∴CM+MN的最小值为：$\frac{96}{25}$．
故答案为：$\frac{96}{25}$．

点评 此题考查了最短路径问题、勾股定理、直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确找到M，N的位置是解此题的关键．