Question

5．已知关于x的一元二次方程x²-（m+3）x+3m=0．
（1）求证：无论m取什么实数值，该方程总有两个实数根．
（2）若该方程的两实根x₁和x₂是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为$\sqrt{10}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出判别式△的值，再根据“△”的意义证明即可；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=3m，根据勾股定理可知x₁²+x₂²=10，利用完全平方公式得出关于m的方程，求出方程的解即可．

解答 （1）证明：△=[-（m+3）]²-4×3m=m²-6m+9=（m-3）²，
因为不论m为何值，（m-3）²≥0，
所以△≥0，
所以无论m取什么实数值，该方程总有两个实数根；

（2）解：根据根与系数的关系得：x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=3m，
∵该方程的两实根x₁和x₂是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为$\sqrt{10}$，
∴x₁²+x₂²=10，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2•x₁•x₂=（m+3）²-2•3m=10，
即m²=1，
解得：m₁=1，m₂=-1（舍去），
即m的值为1．

点评 本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．