Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ丄MP．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由：
（2）若∠ABC=60°，AB=4厘米．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式．

Answer 1

（1）相似     （2）①每秒钟1cm    ②S=

试题分析：（1）相似．
证明：∵MN⊥BC交AC于点N，MQ丄MP，
∴∠BMN=∠PMQ=90°，
即∠BMP+∠PMN=∠PMN+∠NMQ，
∴∠PMB=∠NMQ，
∵△ABC与△MNC中，∠C=∠C，∠A=∠NMC=90°，
∴△ABC∽△MNC，
∴∠B=∠MNC，
∴△PBM∽△QNM；

（2）①在直角△ABC中，∠ABC=60°，AB=4厘米，
则BC=8cm，AC=12cm．
由M为BC中点，得BM=CM=4，
若BP=cm．
∵在Rt△CMN中，∠CMN=90°，∠MCN=30°，
∴NC==8cm，
∵△PBM∽△QNM，
∴=，
即NQ=1，
则求动点Q的运动速度是每秒钟1cm．
②AP=AB﹣BP=4﹣t，
AQ=AN+NQ=AC﹣NC+NQ=12﹣8+t=4+t，
则当0＜t＜4时，△APQ的面积为：S=AP•AQ=（4﹣t）（4+t）=，
当t＞4时，AP=t﹣4=（t﹣4）．
则△APQ的面积为：S=AP•AQ=（t﹣4）（4+t）=．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及相似三角形与函数的综合应用，利用时间t正确表示出题目中线段的长度是解题的关键．