Question

如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，其中点A、B、C三点的坐标分别为（1，2

3

），（-1，0），（3，0），点D为BC中点，P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合），连接PB、PD，则△PBD周长的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：根据点B、C的坐标求出BC的长度，再求出点D的纵坐标，从而判断出AD⊥BC，解直角三角形求出∠ACD=60°，作点D关于AC的对称点D′，连接BD′与AC相交于点P，根据轴对称确定最短路线问题点P即为所求作的点，过点D′作D′E⊥x轴于E，利用直角三角形两锐角互余求出∠D′DC=30°，然后求出DD′，再求出D′E、DE，然后求出BE，利用勾股定理列式计算求出BD′，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解．

解答：解：∵B（-1，0），C（3，0），
∴BC=3-（-1）=4，
∵点D为BC中点，
∴点D的坐标为（1，0），
∴AD⊥BC，
∵tan∠ACD=

AD

CD

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ACD=60°，
作点D关于AC的对称点D′，连接BD′与AC相交于点P，
则点P即为△PBD周长的最小值时的点，
过点D′作D′E⊥x轴于E，则∠D′DC=90°-60°=30°，
DD′=2•CDcos∠D′DC=2×2×cos30°=2×2×

3

2

=2

3

，
D′E=DD′sin∠D′DC=2

3

×sin30°=2

3

×

1

2

=

3

，
DE=DD′cos∠D′DC=2

3

×cos30°=2

3

×

3

2

=3，
∴BE=2+3=5，
在Rt△BD′E中，BD′=

BE2+D′E2

=

52+( 3 )2

=2

7

，
∴△PBD周长的最小值是2

7

+2．
故答案为：2

7

+2．

点评：本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键，作出图形更形象直观．