Question

如图，直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线y=ax²+bx+c过A、C、O三点．
（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；
（2）过点B作直线与x轴交于点D，且OB²=OA•OD，求证：DB是⊙C的切线；
（3）抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线AB的解析式，易求得A、B的坐标，由于C是AB的中点，根据A、B的坐标即可求出C点的坐标，进而可根据O、A、C三点的坐标确定抛物线的解析式；
（2）将OA、OB的长代入所给的乘积式中，即可求出OD的长，此时发现OA=OB=OD，由此可证得△ABD是等腰直角三角形，即BD⊥AB，由此可判定DB是⊙C的切线；
（3）连接OC，在前面两题中已经证得O、C分别是AD、AB的中点，则OC是△ABD的中位线，由此可求得∠OCA=90°，若以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，可有两种情况：
①以AC、OP为底，OC为高，可先求出直线AC的解析式，由于直线OP与直线AC平行，则它们的斜率相等，由此可求出直线OP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标；
②以OC、AP为底，AC为高，方法同①．

解答：解：（1）A（6，0），B（0，6）（1分）
连接OC，由于∠AOB=90°，C为AB的中点，则OC=

1

2

AB，
所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）；
过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点，故点C的横坐标为3；
又点C在直线y=-x+6上，故C（3，3）；（2分）
抛物线过点O，所以c=0，
又抛物线过点A、C，
所以

0=36a+6b 3=9a+3b

，
解得：a=-

1

3

，b=2；
所以抛物线解析式为y=-

1

3

x2+2x；（3分）

（2）OA=OB=6代入OB²=OA•OD，得OD=6；（4分）
所以OD=OB=OA，∠DBA=90°；（5分）
又点B在圆上，故DB为⊙C的切线；（6分）
（通过证相似三角形得出亦可）

（3）假设存在点P满足题意，
连接OC，因C为AB中点，O在圆上，
故∠OCA=90°，
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，
则∠CAP=90°或∠COP=90°，（7分）
若∠CAP=90°，则OC∥AP，
因OC的方程为y=x，
设AP方程为y=x+b；
又AP过点A（6，0），则b=-6，（8分）
方程y=x-6与y=-

1

3

x2+2x联立解得：

x1=6 y1=0

，

x2=-3 y2=-9

；
故点P₁坐标为（-3，-9）；（9分）
若∠COP=90°，则OP∥AC，同理可求得点P₂（9，-9）；
（用抛物线的对称性求出亦可）
故存在点P₁坐标为（-3，-9）和P₂（9，-9）满足题意．（10分）

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、切线的判定、直角梯形的判定以及函数图象交点坐标的求法等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．