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    已知：?ABCD中，AC⊥CD，点E在射线CB上，点F在射线DC上，且∠EAF=∠B．
    （1）当∠BAD=135°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图1），求证：BE+
    		2
    2
    DF=AD；
    （2）当∠BAD=120°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图2），则AD、BE、DF之间的数量关系是
     
    ；
    （3）当∠BAD=120°时，连接EF，设直线AF、直线BC交于点Q，当AB=3，BE=2时，求EQ和EF的长．
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    分析：（1）此题要通过相似三角形求解；根据∠EAF=∠CAD=45°，可证得∠EAC=∠FAD，而∠ACB=∠D=45°，即可得△AEC∽△AFD，根据AC、AD的比例关系，即可得EC、FD的比例关系，由此得解．
    （2）按照（1）的思路，此题要构造相似三角形来求解；取BC的中点G，连接AG；首先通过证△AGC∽△AFD来得到EG、FD的比例关系，然后根据BC=2（BE+EG）求得BE、CF、AD的等量关系式．
    （3）此题应分两种情况：
    ①如（2），点E、F分别在线段BC、CD上；过F作FH⊥BQ于H，由（2）的相似三角形易得FD=2EG=2，那么CF=1，在Rt△CFH中，即可求出FH、CH的值；进而可由勾股定理求得EF的长；由相似三角形△ADF∽△QCF易得CQ的长，即可求出EQ的值；
    ②点E、Q分别在CB、DC的延长线上；分别过A、F作BC的垂线，设垂足为M、N；易求得AM、FN、BM、EN的长，进而可求出GM、MN的值，根据AM、FN的长，易求得△AMQ、FNQ的相似比，即可求出NQ、MQ的值，从而求得EQ、EF的长，由此得解．
    解答：解：（1）证明：∵∠BAD=135°，且∠BAC=90°，
    ∴∠CAD=45°，即△ABC、△ADC都是等腰直角三角形；
    ∴AD=
    		2
    AC，且∠D=∠ACB=45°；
    又∵∠EAC=∠DAF=45°-∠FAC，
    ∴△AEC∽△AFD，
    ∴AE：AD=EC：FD=1：
    		2
    ，即EC=
    		2
    2
    FD；
    ∴BC=BE+
    		2
    2
    DF，即BE+
    		2
    2
    DF=AD．

    （2）2BE+DF=AD；理由如下：精英家教网
    取BC的中点G，连接AG；
    易知：∠DAC=∠BCA=30°，∠B=∠D=60°；
    在Rt△ABC中，G是斜边BC的中点，则：
    ∠AGE=60°，AD=BC=2AG；
    ∵∠GAD=∠AGE=60°=∠EAF，
    ∴∠EAG=∠FAD=60°-∠GAF；
    又∵∠AGE=∠D=60°，
    ∴△AGE∽△ADF，得：AG：AD=EG：FD=1：2；
    即FD=2EG；
    ∴BC=2BG=2（BE+EG）=2BE+2EG=2BE+DF，即AD=2BE+DF．

    （3）在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=3，则BC=AD=6，EC=4．
    ①如图（2）①，过F作FH⊥BQ于H；精英家教网
    同（2）可知：DF=2EG=2，CF=CD-DF=1；
    在Rt△CFH中，∠FCH=60°，则：
    CH=
    1
    2
    ，FH=
    		3
    2
    ；
    易知：△ADF∽△QCF，由DF=2CF，可得CQ=
    1
    2
    AD=3；
    ∴EQ=EC+CQ=4+3=7；
    在R精英家教网t△EFH中，EH=EC+CH=
    9
    2
    ，FH=
    		3
    2
    ；
    由勾股定理可求得：EF=
    		21
    ．
    ②如图（2）②；
    ∵∠EAF=∠GAD=60°，
    ∴∠EAG=∠FAD=60°+∠FAG，
    又∵∠EGA=∠D=60°，
    ∴△EAG∽△FAD，得：EG：FD=AG：AD=1：2；
    即FD=2EG=10，FC=10-CD=7；
    在Rt△FCN中，∠FCN=60°，
    易求得FN=
    7
    		3
    2
    ，NC=
    7
    2
    ，GN=
    1
    2
    ；
    在等边△ABG中，AM⊥BG，易求得AM=
    3
    		3
    2
    ，MG=
    3
    2
    ，MN=MG-GN=1；
    由于△AMQ∽△FNQ，得：AM：FN=MQ：NQ=3：7，即QN=
    7
    10
    ，MQ=
    3
    10
    ；
    EQ=EB+BM+MQ=2+
    3
    2
    +
    3
    10
    =
    19
    5
    ；
    Rt△EFN中，EN=EG-NG=5-
    1
    2
    =
    9
    2
    ，FN=
    7
    		3
    2
    ，
    由勾股定理，得：EF=
    		57
    ；
    综上可知：EQ=7或
    19
    5
    ，EF=
    		21
    或
    		57
    ．
    点评：此题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理、直角三角形性质的综合应用，同时还涉及到分类讨论的数学思想，难度较大．
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