Question

如图，AB是半圆⊙O的直径，AC⊥AB，AB=2AC，BF⊥AB，在直径AB上任取一点P（不与端点A、B重合），过A、P、C三点的圆与⊙O相交于除点A以外的另一点D，连接AD并延长交射线BF于点E，连接DB、DP、DC．
（1）求证：△ACD∽△BPD；
（2）求证：BE=2BP；
（3）试问当点P在何位置时，DE=2AD．

Answer 1

（1）证明：
∵四边形APDC是小圆的内接四边形
∴∠BPD=∠C
∵CA⊥AB，EB⊥AB
∴CA∥BE
∴∠CAD=∠DEB
∵∠DEB+∠DBE=∠DBP+∠DBE=90°
∴∠DBP=∠BEB=∠CAD
∴△ACD∽△BPD．

（2）证明：由（1）知∠BED=∠DBP
∵∠ADB=∠ABE
∴△ADB∽△ABE
∴=
由（1）的相似三角形可得=
∴=，即=2
∴BE=2BP．
（3）由DB•DB=AD•2DA，得DB：AD=，
∵△ACD∽△BPD，
∴DB：DA=PB：AC=PB：=，
∴PB=AB时，DE=2AD．
分析：（1）由于四边形APDC是小圆的内接四边形，那么∠BPD=∠C，证两三角形相似需再得出一组对应角相等，由于AC，BE都垂直AB，因此可通过这两条平行线得出∠CAD=∠BED，而∠BED又和∠ABD同为∠DBE的余角，因此可得出∠EBD=∠DAC，这样两组对应角相等可得出两三角形相似．
（2）根据（1）的相似三角形，可以得出关于BP，AC，AD，BD的比例关系式，然后通过相似三角形ADB和ABE可得出关于AD，BD，AB，BE的比例关系式，那么通过置换相等的量，就可得出BE：BP=AB：AC，由此得证．
（3）本题是求BP，AB的比例关系，当DE=2AD时，根据射影定理可得BE²=DE•AE=6AD²，BE=AD=2BP，BP=AD，同样根据射影定理可得出AB²=AD•AE=4AD²，AB=2AD，因此BP=AB，即当BP=AB时，DE=2AD．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，通过相似三角形来得出与已知和所求相关的线段成比例是解题的关键．