Question

7．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动．同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F．联结
DE、EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t=$\frac{10}{3}$时，四边形AEFD是菱形；
（3）当t为何值时，EF平分△ABC的面积？
（4）当t为何值时，△DEF与△ABC相似？
（5）当t=$\frac{5}{2}$时，四个三角形△CDF、△ADE、△DEF、△ABC都相似？

Answer 1

分析 （1）由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=t=AE，即可得出结论；
（2）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=5，再求出AC=2AB=10，AD=AC-DC=10-2t，由于?AEFD为菱形，得出AE=AD，t=10-2t，求出t=$\frac{10}{3}$；
（3）先求出△ABC的面积，再用t表示出△BEF的面积，即可建立方程求出时间t；
（4）先判断出△DEF是直角三角形，再建立方程求解即可．
（5）要使四个三角形△CDF、△ADE、△DEF、△ABC都相似必有∠EDF=90°，即：四边形EBFD为矩形．根据含30度角直三角形的性质得到等量关系：AD=2AE．即10-2t=2t．由此求得t的值．

解答 解：（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；
（2）能； 理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB=BC•tan30°=5$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=5，
∴AC=2AB=10，
∴AD=AC-DC=10-2t，
∵平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∴t=10-2t，
∴t=$\frac{10}{3}$；
即当t=$\frac{10}{3}$时，四边形AEFD是菱形；
故答案为$\frac{10}{3}$；
（3）在Rt△ABC中，∠C=30°，BC=5$\sqrt{3}$，
∴AB=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×BC=$\frac{25\sqrt{3}}{2}$，
由运动知，AE=t，CF=$\sqrt{3}$t，
∴BE=5-t，BF=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=$\sqrt{3}$（5-t），
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE×BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（5-t）²，
∵EF平分△ABC的面积，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（5-t）²=$\frac{1}{2}$×$\frac{25\sqrt{3}}{2}$，
∴t=5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$（舍）或t=5-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；

（4）∵△DEF与△ABC相似，
∴△DEF必是直角三角形，
∴∠EDF=90°，
∴四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．即10-2t=2t，
∴t=$\frac{5}{2}$．

（5）当t=$\frac{5}{2}$时，四个三角形△CDF、△ADE、△DEF、△ABC都相似，理由如下：
∵四个三角形△CDF、△ADE、△DEF、△ABC都相似，
∴∠EDF=90°，
∴四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．即10-2t=2t，
∴t=$\frac{5}{2}$．
∴当t=$\frac{5}{2}$时，四个三角形△CDF、△ADE、△DEF、△ABC都相似．
故答案为$\frac{5}{2}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形，菱形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是用方程的思想解决问题．