Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点O以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、O两点移动t秒（0＜t＜5）后，四边形ABOP的面积为S平方米．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）求面积S与时间t的关系式；
（3）在P、O两点移动的过程中，能否使△CPO与△ABC相似？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
∴AC==10m，
∴cos∠ACB===，

（2）过点P作PF⊥BC，
∴PF∥AB，
∴=，
∵动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点O以1米/秒的速度从点C出发，
∴=，
∴PF=，
∴S_△POC=×t×=，
∴四边形ABOP的面积为：S=×6×8-=t²-3t+24；

（3）若△CPO与△ABC相似，则有以下2种情况：
①∠POC=90°
∵∠ABC=90°，
∴PO∥AB，
∴=，
∴=，
解得：，
此时，PO=，OB=，
以B为原点，
∴；
②∠OPC=90°
过P作OP⊥AC于P，
∴=，
∴
解得，，
此时，PE=，BE=
以B为原点，∴，
综上所述，满足条件的P点的坐标为或．
分析：（1）利用解直角三角形的性质，cos∠ACB等于∠ACB的邻边除以斜边得出即可；
（2）首先表示出△POC的面积，再利用△ABC减去△POC的面积即可得出答案．
（3）根据△CPO与△ABC相似，则要考虑以下2种情况：①∠POC=90°，②∠OPC=90°，分别求出即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角形的面积计算、点的坐标等知识点，要注意第三问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．