Question

如图，在直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．
（1）直接写出AB的长；
（2）点P（x，0）为线段OB上一动点（点O、B除外），过点P作PQ∥OA交AB于点Q．
①若以线段PQ为直径的⊙M与y轴相切，求点P的坐标；
②把△BPQ沿直线PQ向左侧翻折叠到△CPQ，若△CPQ与梯形OPQA重叠部分的面积为s，求s关于x的函数关系式，并求当x为何值时，s的值最大，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）∵A（0，6），B（8，0）．
∴AB==10；

（2）①如图1，由题意知，OP=x，则BP=8-x．
∵PQ∥OA，
∴=，即=，
解得，PQ=6-x．
当以线段PQ为直径的⊙M与y轴相切时，PQ=OP，
∴PQ=OP，即×（6-x）=x，
解得，x=，
则点P的坐标是（，0）；

②如图2，当0＜x＜4时，∵△CPQ与梯形OPQA重叠的部分是梯形OPQD，则BP=CP=8-x，
∴OC=CP-OP=8-2x．
∵OD∥PQ，
∴=，即=，
解得，OD=6-x，
∴s=×（OD+PQ）×OP
=×（6-x+6-x）x
=-x²+6x
=-（x-）²+8．
∵x=满足题意，
∴当x=时，s的值最大为8；
如图3，当4≤x＜8时，△CPQ与梯形OPQA重叠部分是△CPQ，则
PC=BP=8-x，
∴s=PC•PQ=（8-x）×（6-x）=（x-8）²．
∵该抛物线的开口方向向上，
∴当4≤x＜8时，y随x的增大而减小，
∴当x=4是，s的值最大，最大值为6．
综上所述，s关于x的函数关系式为：s=-x²+6x（0＜x＜4）；
s=（x-8）²（4≤x＜8）；
且当x=时，s的最大值是8．
分析：（1）根据两点间的距离公式可以求得线段AB的长度；
（2）①由平行线分线段成比例知=，即=；再由圆的切线的性质可以推知PQ=OP，即×（6-x）=x，则以求x的值；
②分类讨论：如图2，当0＜x＜4时，△CPQ与梯形OPQA重叠的部分是梯形OPQD，根据梯形的面积公式来计算重叠部分的面积即可；
如图3，当4≤x＜8时，△CPQ与梯形OPQA重叠部分是△CPQ，根据三角形的面积公式计算重叠部分的面积即可．
点评：本题综合考查了两点间的距离公式，一次函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例以及三角形、梯形面积的计算．解答（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，注意数形结合数学思想在解题过程中的运用．