Question

（2012•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2-(k+2)x+

1

4

k2+1．
（1）k取什么值时，此抛物线与x轴有两个交点？
（2）此抛物线y=x2-(k+2)x+

1

4

k2+1与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（点A在点B左侧），且x₁+|x₂|=3，求k的值．

Answer 1

分析：（1）此题转化为关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+

1

4

k2+1=0的根的判别式的符号问题，即△＞0时，k的取值范围；
（2）利用求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

求得该方程的两根，然后根据已知条件“点A在点B左侧”、x₁+|x₂|=3即可求得k的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=x2-(k+2)x+

1

4

k2+1与x轴有两个交点，
∴令y=0，即x2-(k+2)x+

1

4

k2+1=0…（1分）
[-(k+2)]2-4×1×(

1

4

k2+1)＞0
k²+4k+4-k²-4＞0
4k＞0
∴k＞0，
即k＞0时，此抛物线与x轴有两个交点；          

（2）∵抛物线y=x2-(k+2)x+

1

4

k2+1与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点
∴x1，2=

k+2± 4k

2

，
∵点A在点B左侧，
即x₁＜x₂，
又∵k＞0，
∴x1=

k+2- 4k

2

，x2=

k+2+ 4k

2

＞0，
∴|x₂|=x₂．
∵x₁+|x₂|=3，
∴x₁+x₂=3，即

k+2+ 4k

2

+

k+2- 4k

2

=3，
解得k=1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．在利用求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

求得该方程的两根时，要熟悉该公式中的字母a、b、c所代表的意义．