Question

如图．△ABC内接于⊙O，AC＞BC，点D为的中点．求证：AD²=AC•BC+CD²．

Answer 1

证明：如图，过点D作DE⊥AC．
垂足为点E，
AD²-CD²=（AE²+DE²）-（DE²+EC²）
=AE²-EC²，
=（AE+EC）（AE-EC）
=AC（AE-CE），①
过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F．连接BD，
∵D为弧AB的中点，
∴AD=BD，
∵∠DAC=∠DBC，∠DEA=∠DFB=90°，
∴Rt△AED≌Rt△BFD，
∴AE=BF，②
DE=DF，
∵∠DEC=∠DFC=90°，DC=DC，
∴Rt△CED≌Rt△CFD，
∴CE=CF③
综合式①、②、③，得：AD²-CD²=AC（BF-CF）=AC•BC，
即：AD²=AC•BC+CD²．
分析：过点D作DE⊥AC，根据勾股定理得到AD²-CD²=AC（AE-CE），过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F．连接BD，根据D为弧AB的中点得出AD=BD，证Rt△AED≌Rt△BFD和Rt△CED≌Rt△CFD，推出AE=BF，CE=CF，代入①即可求出答案．
点评：本题主要考查对勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，垂线的定义，全等三角形的性质和判定，三角形的外接圆与外心等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并熟练地运用性质进行证明是证此题的关键，题型较好，综合性强，难度适中．