Question

10．如图，正方形PQMN内接于△ABC，M，N在BC上，P，Q分别在AB，AC上，
AD⊥BC于D，交PQ于E点，BC=12cm，AD=8cm．
（1）求正方形的边长；
（2）若PQMN为矩形，且PN=2PQ，PN是多少？

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出△APQ∽△ABC，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；
（1）由题意可得出$\frac{2PQ}{8}+\frac{PQ}{12}=1$，求出PQ的长，即可求出PN的长．

解答 解：（1）设正方形的边长为acm，
在正方形PQMN中，PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{PQ}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{a}{12}=\frac{8-a}{8}$，
解得：a=$\frac{24}{5}$；
即正方形的边长为$\frac{24}{5}$cm；
（2）由题意得；PN：AD=BP：AB，PQ：BC=AP：AB
∴$\frac{PN}{AD}+\frac{PQ}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$+$\frac{AP}{AB}$=1，
又∵PN=2PQ，BC=12cm，AD=8cm，
∴$\frac{2PQ}{8}+\frac{PQ}{12}=1$，
解得：PQ=3，
∴PN=6cm，

点评 本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．