Question

已知Rt△ABC，∠BAC=90°，点D是BC中点，AD=AC，BC=4，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，
（1）求弦AD的长；
（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？
（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP-DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=90°，点D是BC中点，BC=4，
∴AD=BC=2；

（2）连DE、ME，如图，∵DM＞DE，
当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，
∴OE⊥DM，
又∵AD=AC，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠DAO=30°，
∴∠DON=60°，
在Rt△ADN中，DN=AD=，
在Rt△ODN中，ON=DN=1，
∴当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；
当MD=ME，DE为底边，如图3，作DH⊥AE，
∵AD=2，∠DAE=30°，
∴DH=，∠DEA=60°，DE=2，
∴△ODE为等边三角形，
∴OE=DE=2，OH=1，
∵∠M=∠DAE=30°，
而MD=ME，
∴∠MDE=75°，
∴∠ADM=90°-75°=15°，
∴∠DNO=45°，
∴△NDH为等腰直角三角形，
∴NH=DH=，
∴ON=-1；
综上所述，当ON等于1或-1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；
（3）当⊙O变动时DP-DQ的值不变，DP-DQ=2．理由如下：
连AP、AQ，如图2，
∵∠C=∠CAD=60°，
而DP⊥AB，
∴AC∥DP，
∴∠PDB=∠C=60°，
又∵∠PAQ=∠PDB，
∴∠PAQ=60°，
∴∠CAQ=∠PAD，
∵AC=AD，∠AQC=∠P，
∴△AQC≌△APD，
∴DP=CQ，
∴DP-DQ=CQ-DQ=CD=2．
分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；
（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=AD=，ON=DN=1；
当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于AD=2，∠DAE=30°，得到DH=，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，
又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=，则ON=-1；
（3）连AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易证得△AQC≌△APD，得到
DP=CQ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC为等边三角形，CD=AD=2，即可得到DP-DQ的值．
点评：本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．