Question

如图：一正方形纸片，根据要求进行多次分割，把它分割成若干个直角三角形．具体操作过程如下：
第一次分割：将正方形纸片分成4个全等的直角三角形；第二次分割：将上次得到的直角三角形中的一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的方法重复进行．

（1）请你设计出两种符合题意的分割方案（分割3次）；
（2）设正方形的边长为a，请你通过对其中一种方案的操作和观察，将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S填入下表：

（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质和中位线定理进行分割解答；
（2）利用每一次分割后的面积是所分割图形面积的四分之一解答；
（3）运用（2）的几个数值发现一般规律．

解答：解：（1）如下三种分割方案：


（2）由正方形的面积a²得分割后所得的最小的直角三角形的面积：


（3）当分割次数为1时，S=

1

4

a²；
当分割次数为2时，S=

1

16

a²；
当分割次数为3时，S=

1

64

a²；
…
当分割次数为n时，Sn=

1

4n

a2（n≥1，且n为正整数）．

点评：解答此题主要运用正方形的性质及三角形中位线定理来解决．