Question

给出一组式子：3²+4²=5²，5²+12²=13²，7²+24²=25²，9²+40²=41²，11²+60²=61²，…
（1）请你观察给出的式子，找出一些规律并写出，运用所发现的规律给出第10个式子，并利用计算器验证所得式子的正确性；
（2）已知：2003²+p²=q²，其中p，q为连续正整数，且q=p+1，用较为简便的方法写出p和q的值，并利用计算器验证它的正确性．

Answer 1

解：（1）①这些式子每个都呈a²+b²=c²（a，b，c为正整数）的形式．②每个等式中a是奇数，b为偶数（实际上还是4的倍数），c奇数．③c=b+1．④各个式子中，a的取值依次为3，5，7，9，11，是连续增大的奇数．⑤各个式子中，b的取值依次为4，12，24，40
猜想：第10个式子为21²+220²=221²

（2）∵2003²+p²=q²，q=p+1，
∴2003²=q²-p²=（p+1）²-p²=2p+1
∴p=（2003²-1）÷2=2006004
∴q=p+1=2006005．
分析：3²+4²=5²，即（2×1+1）²+{[（2×1+1）²-1]÷2}²={[（2×1+1）²-1]÷2+1}²，
5²+12²=13²，即（2×2+1）²+{[（2×2+1）²-1]÷2}²={[（2×2+1）²-1]÷2+1}²，
7²+24²=25²，即（2×3+1）²+{[（2×3+1）²-1]÷2}²={[（2×3+1）²-1]÷2+1}²，
9²+40²=41²，即（2×4+1）²+{[（2×4+1）²-1]÷2}²={[（2×4+1）²-1]÷2+1}²，
11²+60²=61²，即（2×5+1）²+{[（2×5+1）²-1]÷2}²={[（2×5+1）²-1]÷2+1}²，
…
则（2×10+1）²+{[（2×10+1）²-1]÷2}²={[（2×10+1）²-1]÷2+1}²，即21²+220²=221²．
（2n+1）²+{[（2n+1）²-1]÷2}²={[（2n+1）²-1]÷2+1}²，即（2n+1）²+[2n（n+1）]²=[2n（n+1）+1]²．
点评：本题的规律为：（2n+1）²+{[（2n+1）²-1]÷2}²={[（2n+1）²-1]÷2+1}²，即（2n+1）²+[2n（n+1）]²=[2n（n+1）+1]²．