Question

7．如图，在⊙O中，直径AB=8，∠A=30°，AC=8$\sqrt{3}$，AC与⊙O交于点D．
（1）求证：直线BD是线段AC的垂直平分线；
（2）若过点D作DE⊥BC，垂足为E，求证：DE是⊙O的切线；
（3）若点F是AC的三等分点，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，解直角三角形得到BD=4，AD=4$\sqrt{3}$，于是得到AD=$\frac{1}{2}$AC，即可得到结论；
（2）连接OD，根据三角形中位线的性质得到OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC，推出OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；
（3）根据已知条件得到AF=$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$，求得DF=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵直径AB=8，∠A=30°，
∴BD=4，AD=4$\sqrt{3}$，
∵AC=8$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴直线BD是线段AC的垂直平分线；
（2）连接OD，
∵D，O分别是线段AC，AB的中点，
∴OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵点F是AC的三等分点，
∴AF=$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$，
∵AD=4$\sqrt{3}$，
∴DF=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∵BD⊥AC，BD=4，
∴BF=$\sqrt{D{F}^{2}+B{D}^{2}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，勾股定理，线段垂直平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．