Question

如图，直线y=kx+b交x轴于点A（-1，0），交y轴于B点，tan∠BAO=3；过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求抛物线的表达式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（-1，0），交y轴于B点，tan∠BAO=3；
∴3AO=BO，
∴B（0，3），
将A（-1，0），B（0，3）代入y=kx+b得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=3x+3；

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，由题意，得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3

（3）∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4
∴抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，a），
①当AQ=BQ时，如图，

由勾股定理可得
BQ==，
AQ==得：
=，
解得：a=1，
∴Q（1，1）；
②如图：

当AB是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，AB=BQ，
∴=
解得：a=0或6，
当Q点的坐标为（1，6）时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，
则此时Q的坐标是（1，0）；
③当AQ=AB时，如图：

=，
解得a=±，
则Q的坐标是（1，）和（1，-）．
综上所述：Q（1，1），（1，0），（1，），（1，-）．
分析：（1）根据点A（-1，0），交y轴于B点，tan∠BAO=3得出B点坐标，进而求出直线的解析式；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，根据A、B、C三点的坐标利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（3）将抛物线化为顶点式，求出对称轴对称轴，设出Q点的坐标，利用等腰三角形的性质，根据两点间的距离公式就可以求出Q点的坐标．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式与等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用是解此题的关键，还要注意不要漏解．