Question

如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC=90°，
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB=3，OC=4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．

Answer 1

分析：（1）由∠BOC为直角，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠OBC与∠OCB互余，又BE与BF为圆的两条切线，根据切线长定理可得BO为∠EBF的平分线，同理可得CO为∠FCG的平分线，根据角平分线定义分别得到两对角相等，根据等量代换可得∠EOB与∠OCG也互余，可得四个角相加为180°，即同旁内角互补，根据同旁内角互补两直线平行可得证；
（2）连接OE，OF，OG，由AB，BC及CD为圆的切线，可得OE与AB垂直，OF与BC垂直，OG与CD垂直，再根据切线长定理可得BE=BF，又OB=OB，利用HL可得直角三角形OEB与直角三角形OFB全等，可得扇形OEM与扇形OFM的圆心角相等，又半径相等，可得这两个扇形面积相等，同时三角形OEB与三角形OFB全等，利用等式的基本性质可得阴影BEM与阴影BFM面积相等，同理可得阴影NCF与阴影NCG面积相等，故用2（三角形OBC的面积减去扇形OMN的面积）可求出阴影部分的面积，而三角形OBC的面积等于两直角边乘积的一半求出，扇形OMN的圆心角为直角，半径为直角三角形斜边上的高，利用扇形面积求出，将求出的面积代入即可求出所求阴影部分的面积．

解答：解：（1）∵∠BOC=90°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
又BE与BF为圆O的切线，
∴BO为∠EBF的平分线，
∴∠OBC=∠OBF，
同理可得∠OCB=∠OCG，
∴∠OBF+∠OCG=90°，
∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG=180°，
即∠ABF+∠DCF=180°，
∴AB∥CD；

（2）连接OE，OF，OG，如图所示：

由BE和BF为圆的切线，
可得OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°，
∴BE=BF，又OB=OB，
∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），
∴∠BOE=∠BOF，S_△OEB=S_△OFB，
∴S_扇形OEM=S_扇形OFM，
∴S_△OEB-S_扇形OEM=S_△OFB-S_扇形OFM，
即S_阴影BEM=S_阴影BFM，
同理S_阴影NFC=S_阴影NCG，
由∠BOC=90°，OB=3，OC=4，
根据勾股定理得：BC=5，
∵BC为圆的切线，∴OF⊥BC，
∴

1

2

OB•OC=

1

2

BC•OF，即OF=

12

5

，
∴S_△BOC=

1

2

OB•OC=6，
S_扇形OMN=

90π×( 12 5 )2

360

=

36π

25

，
则阴影部分面积S=2（S_阴影BFM+S_阴影NFC）
=2（S_△BOC-S_扇形OMN）=12-

72π

25

．

点评：此题考查了切线长定理，切线的性质，平行线的判定，勾股定理，直角三角形全等的判定与性质，以及扇形的面积计算，其中切线长定理是过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等，且此点与圆心的连线平分两切线的夹角，熟练掌握此性质是解本题的关键，同时注意不规则阴影图形面积的求法主要利用转化的思想来解决．