Question

如图，已知凸四边形ABCD的两对角线BD与AC之比为k，菱形EFGH各顶点位于四边形ABCD的顺次四边之上，且EF∥AC，FG∥BD，则四边形ABCD与菱形EFGH的面积之比为

 

．

Answer 1

分析：设

AE

AB

=a，由平行线分线段成比例得出

BE

AB

、

EH

BD

、EH=a•BD，EF=（1-a）•AC，根据EF=EH得到

BD

AC

的值，即求出a=

1

k+1

，再代入面积公式代入即可求出四边形ABCD与菱形EFGH的面积之比．

解答：解：设

AE

AB

=a，则

BE

AB

=1-a，

EH

BD

=a，EH=a•BD，
同理：EF=（1-a）•AC，
∵菱形EFGH，
∴EF=EH，
∴a•BD=（I-a）•AC，
∴

BD

AC

=

1-a

a

，
∵

BD

AC

=k，
∴a=

1

k+1

，
由面积公式得：

S四边形ABCD

S菱形EFGH

=

1 2 AC•BD•sina

EF•EH•sina

，
=

AC•BD

2EF•EH

，
=

1

2

•

1

1-a

•

1

a

，
=

1

2

•

1

1- 1 k+1

•（k+1），
=

(k+1)2

2k

．
故答案为：

(k+1)2

2k

．

点评：本题主要考查了面积与等积变换，平行线分线段成比例等知识点，解此题的关键是求出

AC

EF

和

BD

EH

的值．题型很好，但难度较大．