Question

17．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；
（3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；
（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为$±\sqrt{3}$．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）先确定出直线AB解析式，进而得出点D，C的坐标，即可得出CD的函数关系式，即可得出结论；
（3）先确定出CD=|-x²+3x|，DP=|-x+3|，再分两种情况解绝对值方程即可；
（4）利用四个点在同一个圆上，得出过点B，C，P的外接圆的圆心既是线段AB的垂直平分线上，也在线段PC的垂直平分线上，建立方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），
∴-9+3b+c=0，c=3，
∴b=2，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）∵A（3，0），B（0，3），∴直线AB解析式为y=-x+3，
∵P（x，0）．
∴D（x，-x+3），C（x，-x²+2x+3），
∵0＜x＜3，
∴CD=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，CD_最大=$\frac{9}{4}$；
（3）由（2）知，CD=|-x²+3x|，DP=|-x+3|
①当S_△PDB=2S_△CDB时，
∴PD=2CD，
即：2|-x²+3x|=|-x+3|，
∴x=±$\frac{1}{2}$或x=3（舍），
②当2S_△PDB=S_△CDB时，
∴2PD=CD，
即：|-x²+3x|=2|-x+3|，
∴x=±2或x=3（舍），
即：综上所述，x=±$\frac{1}{2}$或x=±2；
（4）直线AB解析式为y=-x+3，
∴线段AB的垂直平分线l的解析式为y=x，
∵过点B，C，P的外接圆恰好经过点A，
∴过点B，C，P的外接圆的圆心既是线段AB的垂直平分线上，也在线段PC的垂直平分线上，
∴$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{2}=x$，
∴x=±$\sqrt{3}$，
故答案为：$±\sqrt{3}$

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，绝对值方程，四点共圆的特点，解本题的关键是CD=|-x²+3x|，DP=|-x+3|．