Question

9．如图，直线y₁=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B，点C（1，a）、D（b，-2）是直线与双曲线y₂=$\frac{m}{x}$的两个交点，过点C作CE⊥y轴于点E，且△BCE的面积为1．
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）观察图象，比较当x＞0时，y₁与y₂的大小；
（3）若在y轴上有一动点F，使得以点F、A、B为顶点的三角形与△BCE相似，求点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线AB的解析式可找出点B的坐标，根据点C的坐标结合三角形的面积公式即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出a值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出双曲线的函数解析式；
（2）根据点C的横坐标，结合两函数图象的上下位置关系即可得出结论；
（3）有△BCE为直角三角形以及点F在y轴上，即可得出点F的在点B的下方，分∠AFB=90°以及∠FAB=90°两种情况考虑．①当∠AFB=90°时，结合函数图象可找出点F与原点O重合；②当∠FAB=90°时，设点F的坐标为（0，n），根据相似三角形的性质即可得出关于n的一元一次方程，解方程求出n值即可得出点F的坐标．综上即可得出结论．

解答 解：（1）当x=0时，y=2，
∴B（0，2）．
∵点C（1，a），
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$•BE•CE=$\frac{1}{2}$×|a-2|×1=1，
解得：a=4或a=0（舍去），
∴C（1，4）．
∵点C（1，4）在双曲线y₂=$\frac{m}{x}$上，
∴m=1×4=4，
∴双曲线的函数解析式为y₂=$\frac{4}{x}$．
（2）观察函数图象可知：
当0＜x＜1时，y₁＜y₂；当x=1时，y₁=y₂；当x＞1时，y₁＞y₂．
（3）∵△BCE为直角三角形，点F在y轴上，
∴点F在点B的下方，∠ABF=∠CBE，
∴有存在两种情况（如图所示）：
①当∠AFB=90°时，点F与点O重合，
∴此时点F的坐标为（0，0）；
②当∠FAB=90°时，设点F的坐标为（0，n）．
∵点C（1，4）在直线y₁=kx+2上，
∴4=k+x，k=2，
∴直线y₁=2x+2．
当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0）．
∵B（0，2），C（1，4），
∴E（0，4），BE=2，AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，BF=2-n．
∵△FAB∽△CEB，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{AB}{BE}$，即$\frac{2-n}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得：n=-$\frac{1}{2}$，
此时点F的坐标为（0，-$\frac{1}{2}$）．
综上可知：点F的坐标为（0，0）或（0，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程；（2）根据两函数图象的上下位置关系解决不等式；（3）分∠AFB=90°以及∠FAB=90°两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边的关系是关键．