Question

如图，等腰Rt△ABC，AC=BC，以斜边AB中点O为圆心作⊙O与AC边相切于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求tan∠CDE的值．

Answer 1

解：（1）连接OD，作OF⊥BC于F点，如图所示：
∵⊙O与AC边相切于点D，
∴OD⊥AC，
∵∠C=90°
∴OD∥BC，
∵O为斜边AB中点
∴OD=BC，
同理可得：OF=AC，
∵AC=BC，
∴OD=OF，
∴BC为⊙O的切线；

（2）如图，连接DG，
∵作⊙O与AC边相切于点D，DE为弦，
∴∠CDE=∠DGE，∠ADG=∠AED，
∴△AGD∽△AED，
∴
设AC=BC=2a，
则OD=OF=DC=CF=AD=BF=OG=OE=a
∴AG=（-1）a
∴tan∠CDE=tan∠DGE===．
分析：（1）连接OD，作OF⊥BC于F点，利用三角形中位线的性质得到OF为圆的直径，从而证得BC为⊙O的切线；
（2）设AC=BC=2a，根据上题可以得到圆的半径为a，利用相似三角形将tan∠CDE转化为AF与AD的比值来求即可．
点评：本题考查了切线的判定及性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的定义，解题的关键是正确的读题，并正确地作出辅助线．