Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若∠B=65°，求∠AED的度数；
（2）若AB=AC，那么△ABC还需要满足什么条件才能使四边形AEDF为正方形？为什么？

Answer 1

考点：正方形的判定,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）先由在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出ED=

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AB=EB，根据等边对等角得到∠B=∠BDE=65°，再根据三角形外角的性质得出∠AED=∠B+∠BDE=130°；
（2）当∠BAC=90°时，四边形AEDF为正方形．先根据等腰三角形三线合一的性质得出D为BC的中点，则DF为△ABC的中位线，由三角形中位线的性质得出DF=

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AB=AF，DF∥AB，同理DE∥AC，则四边形AEDF为平行四边形，又DF=AF，∠BAC=90°，则证明出四边形AEDF为正方形．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，E是AB的中点，
∴ED=

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AB=EB，
∴∠B=∠BDE=65°，
∴∠AED=∠B+∠BDE=65°+65°=130°；

（2）当∠BAC=90°时，四边形AEDF为正方形．理由如下：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
又F是AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF=

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AB=AF，DF∥AB，
同理DE∥AC，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵DF=AF，
∴四边形AEDF为菱形，
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF为正方形．

点评：本题考查了直角三角形、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正方形的判定，综合性较强，难度不大．