Question

【题目】如图，在坐标系中，正比例函数y=﹣x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点．

①试根据图象求k的值；

②P为y轴上一点，若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出满足条件的点P所有可能的坐标．

Answer 1

【答案】①﹣1；②点P的所有可能的坐标是（0，），（0，﹣），（0，2），（0，﹣2）．

【解析】

试题分析：①利用点A在直线y=﹣x上确定A点坐标，然后把A点坐标代入y=即可求出k的值；

②设P（0，t），而B点坐标为（1，﹣1），分类讨论：当∠PAB=90°，则PA2+AB2=PB2；当∠PBA=90°，则PB2+AB2=PA2；当∠APB=90°，则PA2+PB2=AB2，然后利用两点间的距离公式列出关于t的3个方程，再解方程求出t即可得到P点坐标．

解：①把x=﹣1代入y=﹣x得y=1，

∴A的坐标是（﹣1，1），

把A（﹣1，1）代入y=得k=﹣1×1=﹣1；

②∵点A与点B关于原点中心对称，

∴B点坐标为（1，﹣1），

∴AB=2，

设P点坐标为（0，t），

当∠PAB=90°，则PA2+AB2=PB2，即12+（t﹣1）2+（2）2=12+（t+1）2，解得t=2；

当∠PBA=90°，则PB2+AB2=PA2，即12+（t+1）2+（2）2=12+（t﹣1）2，解得t=﹣2；

当∠APB=90°，则PA2+PB2=AB2，即12+（t﹣1）2+12+（t+1）2=（2）2，解得t=±

∴点P的所有可能的坐标是（0，），（0，﹣），（0，2），（0，﹣2）．