Question

4．如图，△ABC是等腰直角三角形，斜边AB⊥x轴于B，顶点A，C在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，再作等腰Rt△CDE，使直角顶点E在该函数图象上，顶点D在x轴正半轴上，则△CDE的面积是$\frac{11-6\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 设A（a，b），过C作CG⊥AB于G，作EF⊥x轴于F，求出点C的坐标，求出a、b的值，得到点A，C的坐标，作CH⊥x轴于H，EG⊥CH于G，证明△CEG≌△DEF，得到EG=EF，设EF=y，得到点E的坐标，根据点E在反比例函数的图象上，求出y，求出CE，根据三角形面积公式求出△CDE的面积．

解答 解：设A（a，b），
过C作CP⊥AB于P，作EF⊥x轴于F，CH⊥x轴于H，EG⊥CH于G，
∵AB⊥x轴，△ABC是等腰直角三角形，
∴CG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$b=BG，∴C（a+$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{2}$b），
∵A、C在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，∴ab=$\frac{1}{2}$b（a+$\frac{1}{2}$b），
解得，b₁=2，b₂=-2（舍去），
则a=1，∴A（1，2），C（2，1），
∵等腰Rt△CDE，∴CE=DE，∠CED=∠GEF=90°，
∴∠CFG=∠DEF
在△CEG和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFG=∠DEF}\\{∠CGE=∠EFD}\\{EC=ED}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△DEF，∴EG=EF，
设EF=y，∴E（2+y，y），
∴（2+y）×y=2，
解得，y=$\sqrt{3}$-1，则点E（$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1），
∴CE²=（$\sqrt{3}$+1-2）²+（$\sqrt{3}$-1-1）²=11-6$\sqrt{3}$，
∵DE=CE，∴△CDE的面积=$\frac{1}{2}$CE²=$\frac{11-6\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{11-6\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义，正确作出辅助线、灵活意义三角形全等的判定和性质是解题的关键，注意数形结合思想的运用．