Question

如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：

①∠AEF=∠BCE；

②AF+BC＞CF；

③S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE；

④若=，则△CEF≌△CDF．

其中正确的结论是　　．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

①③④

解：∵EF⊥EC，

∴∠AEF+∠BEC=90°，

∵∠BEC+∠BCE=90°，

∴∠AEF=∠BCE，故①正确；

又∵∠A=∠B=90°，

∴△AEF∽△BCE，

∴=，

∵点E是AB的中点，

∴AE=BE，

∴=，

又∵∠A=∠CEF=90°，

∴△AEF∽△ECF，

∴∠AFE=∠EFC，

过点E作EH⊥FC于H，

则AE=DH，

在△AEF和△HEF中，，

∴△AEF≌△HEF（HL），

∴AF=FH，

同理可得△BCE≌△HCE，

∴BC=CH，

∴AF+BC=CF，故②错误；

∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，

∴S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE，故③正确；

若=，则cot∠BCE=====2×=，

∴∠BCE=30°，

∴∠DCF=∠ECF=30°，

在△CEF和△CDF中，，

∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，

综上所述，正确的结论是①③④．

故答案为：①③④．