Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．

（1）求证：BE=AD；

（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；

（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．

Answer 1

考点：

直角梯形；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定．.

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）把要证明的线段AD和BE放到两个三角形ABD和BCE中即可证明；

（2）根据等腰三角形的三线合一即可证明；

（3）根据（2）中的结论，即可证明CD=BC．

解答：

（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠2，

在△BAD和△CBE中，

，

∴△BAD≌△CBE（ASA），

∴AD=BE．

（2）证明：∵E是AB中点，

∴EB=EA，

∵AD=BE，

∴AE=AD，

∵AD∥BC，

∴∠7=∠ACB=45°，

∵∠6=45°，

∴∠6=∠7，

又∵AD=AE，

∴AM⊥DE，且EM=DM，

即AC是线段ED的垂直平分线；

（3）解：△DBC是等腰三角形（CD=BD）．

理由如下：

∵由（2）得：CD=CE，由（1）得：CE=BD，

∴CD=BD．

∴△DBC是等腰三角形．

点评：

综合运用了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质．此类题注意已证明的结论的充分运用．