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【题目】已知,点M是二次函数y=ax2(a>0)图象上的一点,点F的坐标为(0,),直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上,圆心Q的纵坐标为

(1)求a的值;

(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;

(3)当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为点N,求证:MF=MN+OF.

【答案】(1)y=x2;(2)M1(),Q1),M2),Q2);(3)详见解析.

【解析】

试题分析:(1)设Q(m,),F(0,),由QO=QF,根据勾股定理列出方程即可求得a值;(2)设M(t,t2),Q(m,),根据KOM=KOQ,求出t、m的关系,根据QO=QM列出方程即可解决问题.(3)设M(n,n2)(n>0),则N(n,0),F(0,),利用勾股定理求出MF即可解决问题.

试题解析:(1)圆心O的纵坐标为

设Q(m,),F(0,),

QO=QF,

m2+(2=m2+(2

a=1,

抛物线为y=x2

(2)M在抛物线上,设M(t,t2),Q(m,),

O、Q、M在同一直线上,

KOM=KOQ

=

m=

QO=QM,

m2+(2=(mt)2=(t22

整理得到:t2+t4+t22mt=0,

4t4+3t21=0,

(t2+1)(4t21)=0,

t1=,t2=

当t1=时,m1=

当t2=时,m2=

M1(),Q1),M2),Q2).

(3)设M(n,n2)(n>0),

N(n,0),F(0,),

MF===n2+,MN+OF=n2+

MF=MN+OF.

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