【题目】已知,点M是二次函数y=ax2(a>0)图象上的一点,点F的坐标为(0,),直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上,圆心Q的纵坐标为.
(1)求a的值;
(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;
(3)当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为点N,求证:MF=MN+OF.
【答案】(1)y=x2;(2)M1(,),Q1(,),M2(﹣,),Q2(﹣,);(3)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)设Q(m,),F(0,),由QO=QF,根据勾股定理列出方程即可求得a值;(2)设M(t,t2),Q(m,),根据KOM=KOQ,求出t、m的关系,根据QO=QM列出方程即可解决问题.(3)设M(n,n2)(n>0),则N(n,0),F(0,),利用勾股定理求出MF即可解决问题.
试题解析:(1)∵圆心O的纵坐标为,
∴设Q(m,),F(0,),
∵QO=QF,
∴m2+()2=m2+(﹣)2,
∴a=1,
∴抛物线为y=x2.
(2)∵M在抛物线上,设M(t,t2),Q(m,),
∵O、Q、M在同一直线上,
∴KOM=KOQ,
∴=,
∴m=,
∵QO=QM,
∴m2+()2=(m﹣t)2=(﹣t2)2,
整理得到:﹣t2+t4+t2﹣2mt=0,
∴4t4+3t2﹣1=0,
∴(t2+1)(4t2﹣1)=0,
∴t1=,t2=﹣,
当t1=时,m1=,
当t2=﹣时,m2=﹣.
∴M1(,),Q1(,),M2(﹣,),Q2(﹣,).
(3)设M(n,n2)(n>0),
∴N(n,0),F(0,),
∴MF===n2+,MN+OF=n2+,
∴MF=MN+OF.
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