Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，过BC上一点E作直线EH，交CD于点F，交AD的延长线于点H，且EF=FH．
（1）求证：AD=DH+BE．
（2）若AB=10，CD=18，∠ADC=60°，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）过点E作EM∥AD，交CD于点M，由平行线的性质得出∠H=∠FEM，根据全等三角形的判定定理得出△DFH≌△MFE，故可得出DH=EM，再由等腰三角形的性质得出∠C=∠ADC，再根据平行线的性质得出∠ADC=∠EMC，故∠C=∠EMC，所以EM=EC，DH=EC，故可得出结论．
（2）过点A作AG⊥CD于点G，由等腰梯形的性质可求出DG的长度，在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义得出AG的长，再由S_梯形ABCD=

1

2

×（AB+CD）×AG即可得出结论；

解答：（1）证明：过点E作EM∥AD，交CD于点M，
∴∠H=∠FEM，
∵EF=FH，∠DFH=∠EFM，
∴△DFH≌△MFE，
∴DH=EM，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠C=∠ADC．
∵EM∥AD，
∴∠ADC=∠EMC，
∴∠C=∠EMC．
∴EM=EC，
∴DH=EC，
∵BC=BE+EC，AD=BC，
∴AD=BE+DH；

（2）解：过点A作AG⊥CD于点G，
∵在梯形ABCD中，AD=BC，AB=10，CD=18，
∴DG=（18-10）÷2=4，
∵在Rt△ADG中，∠ADC=60°，
∴AG=4

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×（10+18）×4

3

=56

3

．

点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形及等腰三角形是解答此题的关键．