Question

在△ABC中，AB=AC=2，BC=-1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．

Answer 1

证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，交于AC于D，
∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，
∴∠A=∠DBC，
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴
∵AB=AC，
∴=，
∵AB=AC=2，BC=-1，
∴（-1）²=2×（2-AD），
解得AD=，
AD：AC=（）：2．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
分析：根据等腰三角形的两底角相等以及角平分线的定义求出∠DBC=36°，从而证明△BDC与△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入数据计算出AD的值，根据数据即可判定点D是线段AC的黄金分割点．
点评：本题考查了学生黄金分割点的证明，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（ ）叫做黄金比．