Question

已知E，F，G，H各点分别在四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边上（如图）．
（1）当

AE

EB

=

BF

FC

=

CG

GD

=

DH

HA

=2时，求证：

S四边形EFGH

S四边形ABCD

=

5

9

（2）当上述条件中比值为3，4，…，n时（n为自然数），那么S_{四边形EFGH}与S_{四边形ABCD}之比是多少？

Answer 1

分析：（1）可先依据题中条件分别得出各个小三角形的面积与四边形ABCD的关系，进而四边形ABCD减去各个小三角形的和即可得出四边形EFGH与四边形ABCD的关系；
（2）规律性问题，根据（1）中结论可得出规律，其证明方法与（1）相同．

解答：解：（1）S_△EBF=

1

3

S_△ABF=

1

3

•

2

3

S_△ABC=

2

9

S_△ABC，
同理S_△DGH=

2

9

S_△ADC，
∴S_△EBF+S_△DGH=

2

9

S_ABCD，
同理S_△CFG+S_△AEH=

2

9

S_ABCD，
∴S_△EBF+S_△DGH+S_△CFG+S_△AEH=

4

9

S_ABCD，
∴S_EFGH=

5

9

S_ABCD．

（2）S_EFGH=

n2+1

(n+1)2

S_ABCD．
（证明方法与（1）的方法一样）．

点评：本题主要考查了平行线的性质问题以及三角形的面积问题，能够利用平行线的性质求解一些简单的计算、证明问题．