Question

15．正方形ABCD的两条对角线交于点O，点F为正方形外一点，且满足FB⊥BD，FA=AC，FA与CB交于点E．求证：CE=CF．

Answer 1

分析 首先过点F作FH⊥AC于点H，由四边形ABCD是正方形，FB⊥BD，可得四边形OBFH是矩形，即可得FH=OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AC，又由FA=AC，可求得∠FAC=30°，即可求得∠CEF=∠AFC，继而证得结论．

解答 证明：过点F作FH⊥AC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵FB⊥BD，
∴四边形OBFH是矩形，
∴FH=OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AC，
∵FA=AC，
∴∴FH=$\frac{1}{2}$AE，
∴∠FAH=30°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CEF=∠FAC+∠ACB=75°，
∵AF=AC，
∴∠AFC=∠ACF=75°，
∴∠CEF=∠AFC，
∴CE=CF．

点评 此题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．