Question

如图，在正方形ABCD中，边长为4，E是AD边的中点，连接BE，作EG⊥BE交CD于点F，交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求DF的长；
（3）求△BEG的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据正方形的性质得出∠A=∠D=90°，再根据EG⊥BE得出∠AEB+∠DEF=90°，再根据∠AEB+∠ABE=90°即可得出∠DEF=∠ABE，故可得出结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）先得出△CGF∽△DEF，再由相似三角形的对应边成比例得出CG的长，故可得出BG的长，根据S_△BEG=

1

2

BG•AB即可得出结论．

解答：（1）证明：∵正方形ABCD中∠A=∠D=90°，EG⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；


（2）解：∵△ABE∽△DEF，E是AD边的中点，

∴DE=

1

2

AD=2，
∴DF：AE=DE：AB，即DF：2=2：4，
解得DF=1；


（3）解：∵正方形ABCD中∠DCG=∠D=90°，∠EFD=∠CFG，
∴△CGF∽△DEF，
∴DF：FC=DE：CG，即1：3=2：CG，CG=6，
∴BG=4+6=10，
∴S_△BEG=

1

2

BG•AB=20．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，难度适中．