Question

如图AD∥BC，点E在CD上，已知AD+BC=AB，E为CD的中点．
求证：
（1）AE⊥BE．
（2）BE平分∠ABC．

Answer 1

分析：（1）延长AE到F使EF=AE，根据两直线平行，内错角相等求出∠D=∠ECF，然后利用“角边角”证明△ADE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后证明AB=BF，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一的证明即可．

解答：证明：（1）如图，延长AE到F使EF=AE，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，

∠D=∠ECF DE=CE ∠AED=∠FEC(对顶角相等)

，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD=CF，
∵AD+BC=AB，
∴BF=CF+BC=AB，
∴AE⊥BE；

（2）BE平分∠ABC（等腰三角形三线合一）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，两直线平行，内错角相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．