Question

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．求证：
（1）△ABC≌△DCB；
（2）DE•DC=AE•BD．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB（等腰梯形的两条对角线相等），
∵AB=DC（已知），BC=CB（公共边），
∴△ABC≌△DCB（SSS）；

（2）由（1）知，△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠DCB（全等三角形的对应角相等）；
∵AD∥BC（已知），
∴∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等），∠EAD=∠ABC（两直线平行，同位角相等）；
又∵ED∥AC（已知），
∴∠EDA=∠DAC（两直线平行，内错角相等），
∴∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB（等量代换），
∴△ADE∽△CBD，
∴DE：BD=AE：CD（相似三角形的对应边成比例），
∴DE•DC=AE•BD．
分析：（1）利用全等三角形的判定定理SSS证明△ABC≌△DCB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等、平行线的性质可以推知∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB，从而根据相似三角形的判定定理AA证得△ADE∽△CBD；最后利用相似三角形的对应边成比例求得DE•DC=AE•BD．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰梯形的性质．等腰梯形的两个腰相等、两条对角线相等．