Question

操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．
操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF₁E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG₁H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF₁G₁的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF₁G₁G．则四边形FF₁G₁G的形状是

 

．

操作、思考并探究：
（1）如图3，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．
（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片？请在图4上画出对应的示意图．

（3）如图5，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH、△BEF、△CFG、△DGH的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，且S₁=2，S₃=5，则四边形ABCD是面积是

 

．（不要求说明理由）

Answer 1

分析：操作2：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析判断；
（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析判断；
（2）依照操作2进行画图；
（3）根据三角形的中位线定理和相似三角形的性质求解．

解答：
解：操作2：连接BD．
根据三角形的中位线定理，得
EH∥BD，EH=

1

2

BD，FG∥BD，FG=

1

2

BD，
根据旋转的性质，得F₁G₁∥EH，F₁G₁=EH．
所以F₁G₁∥FG，F₁G₁=FG，
所以四边形FF₁G₁G的形状是平行四边形．

（1）连接BD．
根据三角形的中位线定理，得
EH∥BD，EH=

1

2

BD，FG∥BD，FG=

1

2

BD，
则EH∥FG，EH=FG，
则四边形纸片EFGH的形状是平行四边形．
（2）见上述操作2；
（3）28．

点评：此题综合考查了三角形的中位线定理、旋转的性质以及相似三角形的性质．