Question

已知△ABC的面积为S．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA，试求△ABD的面积（用含S的代数式表示）；
（2）如图2，分别延长△ABC的边BC、CA、AB到点D、E、F，使CD=BC、AE=CA、FB=BA，连结DE，EF，FD得到△DEF，试探究△ECD、△FAE和△DBF的面积之间的关系，并对你的结论给予证明；
（3）像（2）中那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结其端点得到△DEF，叫做将△ABC向外进行了1次倍边扩展，如图3，△MGH是将△ABC向外进行了2次倍边扩展所得到的三角形．问经过多少次倍边扩展后所得三角形的面积会超过2008S？为什么？

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：（1）由BC=CD，根据三角形中线的性质，即可得S_△ABC=S_△ACD=S，则可求得△ABD的面积；
（2）首先连接AD，由CD=BC、AE=CA，易得S_△DEA=S_△DAC=S_△ACD=S_△ABC=S，则可求得S_△ECD=2S，同理可得S_△ECD=S_△FAE=S_△DBF=2S；
（3）由（2）易得：将△ABC向外进行n次倍边扩展所得到的三角形的面积为：7ⁿS，继而求得答案．

解答：解：（1）∵BC=CD，
∴S_△ABC=S_△ACD=S，
∴S_△ABD=2S；

（2）S_△ECD=S_△FAE=S_△DBF．
证明：连接AD，
∵EA=AC，BC=CD，
∴S_△DEA=S_△DAC=S_△ACD=S_△ABC=S，
∴S_△ECD=2S，
同理：S_△FAE=S_△FBD=2S，
∴S_△ECD=S_△FAE=S_△DBF．

（3）经过4次倍边扩展后所得三角形的面积会超过2008S．
理由：由（2）可得：S_△ECD=S_△FAE=S_△DBF=2S，
∴S_△EFD=S_△ECD+S_△FAE+S_△DBF+S_△ABC=2S+2S+2S+S=7S，
∴经过1次倍边扩展后所得面积为原三角形面积的7倍，
即S_△EFD=7S，
∵将△ABC向外进行了2次倍边扩展所得到的△MGH可以看成是由△DEF进行了1次倍边扩展所得，
∴S_△HMG=7S_△EFD=7²S，
∴将△ABC向外进行n次倍边扩展所得到的三角形的面积为：7ⁿS，
当n=4时，7⁴S=2401S＞2008S，
∴经过4次倍边扩展后所得三角形的面积会超过2008S．

点评：此题考查了三角形中线的性质，属于面积及等积变换问题．此题难度较大，注意得到规律：将△ABC向外进行n次倍边扩展所得到的三角形的面积为：7ⁿS，是解此题的关键．