Question

如图，已知∠A，请你仅用尺规，按下列要求作图和计算（不必写画法）：
（1）选取适当的边长，在所给的∠A图形上画一个含∠A 的直角三角形ABC，并标上字母，其中点C为直角顶点，点B为另一锐角顶点；
（2）以AC为一边作等边△ACD；
（3）若设∠A=30°、BC边长为a，则BD的长为______．

Answer 1

解：（1）如图所示，△ABC为所求作的直角三角形（答案不唯一）；

（2）如图所示，△ACD为所求作的等边三角形，有点D在AC的上方与下方两种情况；

（3）∵∠A=30°、BC边长为a，
∴AB=2BC=2a，
根据勾股定理，AC===a，
①点D在AC的下方时，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
则DE=AC=a，CE=a•sin60°=a×=a，
所以，BE=BC=CE=a+a=a，
在Rt△BDE中，BD===a；
②点D在AC的上方时，∵∠A=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°，
∴∠BAC=∠BAD，
∴AB⊥CD，
∴△ABD与△ABC关于AB成轴对称，
∴BD=BC，
∵BC=a，
∴BD=a；
综上所述，BD的长度为a或a．
故答案为：a或a．
分析：（1）在一边上任取一点C，然后过点C作AC的垂线与另一边相交于点B，则△ABC即为所求作的三角形；
（2）分别以A、C为圆心，以AC长为半径画弧，相交于点D，连接AD、CD则△ACD即为所求作的等边三角形；
（3）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出AC的长度，然后分两种情况①点D在AC的下方时，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，求出DE、CE的长度，然后求出BE的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解，②点D在AC的上方时，求出∠BAD=30°，根据等边三角形的性质可得AB⊥CD，再根据对称性可得△ABD与△ABC关于AB成轴对称，根据轴对称的性质可得BD=BC．
点评：本题考查了复杂作图，主要利用了过一点作已知直线的垂线，已知一边作等边三角形，都是基本作图，（3）题要注意分点D在AC的上方与下方两种情况讨论求解．