Question

（图1）为一锐角是30°的直角教学三角尺，其框为木质制成（内、外直角三角形对应边互相平行，且对应边之间的距离相等）．将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C恰好与⊙O相切（如图2），求直角三角尺（框）的宽和面积．

Answer 1

解：过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，如图，
∵AC∥A′C′，
∴AC⊥OD，
∵A′C′与⊙O相切，
∴OD为⊙O的半径，即OD=OA=OB=AB=×4=2，
在Rt△AOE中，
∵∠A=30°，
∴OE=OA=×2=1，
∴DE=OD-OE=2-1=1，
在Rt△ABC，AB=4，∠BAC=30°，
∴BC=AB=2，AC=BC=2，
∴S_△ABC=BC•AC=2；
设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，如图，
∴∠AMH=30°，AH=1，
∴AM=2AH=2，
而CN=1，
∴MN=AM+AC+CN=3+2，
在Rt△MB′N中，∠B′MN=30°，MN=3+2，
∴B′N=MN=+2，
∴B′C′=B′N+NC′=+3，
在Rt△A′B′C′中，∠A′=30°，
∴A′C′=B′C′=3+3，
∴S_{△A′B′C′}=A′C′•B′C′=（3+3）（+3）=9+6，
∴直角三角尺（框）的面积=S_{△A′B′C′}-S_△ABC=9+6-2=9+4，
所以直角三角尺（框）的宽和面积分别为1cm、（9+4）cm²．
分析：过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC∥A′C′得到AC⊥OD，而A′C′与⊙O相切，根据切线的性质得到OD为⊙O的半径，即OD=OA=OB=AB=×4=2，由∠A=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得OE=OA=×2=1，则DE=OD-OE=2-1=1；在Rt△ABC，利用含30°的直角三角形三边的关系得到BC=AB=2，AC=BC=2，于是有S_△ABC=BC•AC=2；
设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，则有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，可计算出MN=AM+AC+CN=3+2，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三边的关系得到B′N=MN=+2，则B′C′=B′N+NC′=+3，在Rt△A′B′C′中，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到A′C′=B′C′=3+3，于是有S_{△A′B′C′}=A′C′•B′C′=（3+3）（+3）=9+6，然后利用直角三角尺（框）的面积=S_{△A′B′C′}-S_△ABC计算即可．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理、解直角三角形以及含30°的直角三角形三边的关系．