Question

4．如图，正方形ABCD中，点E在BC上移动，FA平分∠DAE，AF交CD于F，连接EF．求证：BE+DF=AE．

Answer 1

分析 延长CB到G，使BG=DF，连接AG，易证△ADF≌△ABG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠FAB=∠EAG，进而证明AE=EB+BG=EB+DF．

解答 证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG（如图），

∵AD=AB，∠D=∠ABG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABG=90°，
在△ADF和△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABG}\\{DF=BG}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴∠5=∠G，∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠2+∠4=∠3+∠4，
即∠FAB=∠EAG，
∵CD∥AB，
∴∠5=∠FAB=∠EAG，
∴∠EAG=∠G，
∴AE=EB+BG=EB+DF．

点评 本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠EAG=∠G是解题的关键．