Question

【题目】探究：如图①，△ACE中，AC=AE，点B在边CE上，点D在边AE上，∠ABD=∠E．求证：△ACB∽△BED．

应用：如图②，△ACE为等边三角形，点B在边CE上，点D在边AE上，∠ABD=60°，BC=BE，则△ABD与△BDE的面积比为 ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）13:3

【解析】试题分析：（1）由等边对等角，得到∠C=∠E，由三角形外角的性质得到∠ABC=∠BDE，再由有两个角分别相等的两个三角形相似，得证；（2）由△ACB∽△BED，根据相似三角形的对应边成比例，可求得△ABC与△BDE的面积比，△ABC与△ABE的面积比，继而求得答案．

试题解析：（1）

∵AC=AE,

∴∠C=∠E,

∵∠ABC=∠∠BAE+∠E, ∠BDE=∠BAE+∠ABD, ∠ABD=∠E,

∴∠ABC=∠BDE,

在△ABC和△BDE中，

∴△ABC∽△BDE；

（2）∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD，

∴∠CAB=∠DBE，

∵∠C=∠E=60，

∴△ACB∽△BED，

∵△ACE是等边三角形，BC=BE

∴△ACB与△BED的相似比为：4:3，

∴S△ABC:S△BED=16:9,S△ABC:S△ABE=1:3=16:48，

设S△ABC=16x,则S△ABE=48x,S△BDE=9x

∴S△ABD=S△ABES△BED=48x9x=39x，

∴S△ABD:S△BDE=39:9=13:3.