Question

（2012•集美区一模）已知抛物线y=x²-2x+c（c＜0）的顶点为M，与y轴相交于点C，A（m，

m

2

-c）是直线MC上的点
（1）若点A关于y轴对称点B恰好在抛物线上，求抛物线所对应的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若C关于x轴的对称点为N，在抛物线y=x²-2x+c（c＜0）上是否存在点P，使得以A、C、P、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先用c表示出M点的坐标，再由待定系数法可求出直线MC的表达式，已知点A（m，

m

2

-c）在直线MC上，且点B（-m，

m

2

-c）在抛物线上，通过联立方程组即可求出m、c的值．
（2）由于四边形的四顶点排序没有明确，所以要分情况进行讨论，通过题意不难得出点C、N都在y轴上，所以：
①当CN为平行四边形的边时，那么AP与CN平行且相等，所以将点A向上或向下平移CN长个单位即可得到点P的坐标（有两个）；
②当CN为平行四边形的对角线时，由于平行四边形是中心对称图形，且C、N关于原点对称，所以点A、P必关于原点对称，则P点坐标可求．

解答：解：（1）由y=x²-2x+c=（x-1）²+c-1（c＜0）知，M（1，c-1）、C（0，c）；
设直线MC的解析式：y=kx+b，则有：

k+b=c-1 b=c

，
解得

k=-1 b=c

故直线MC：y=-x+c；
∵A（m，

m

2

-c）是直线MC上的点，
∴

m

2

-c=-m+c…①
∵点A关于y轴对称点B（-m，

m

2

-c）在抛物线上，
∴

m

2

-c=m²-2（-m）+c…②
联立①②，解得：

m1=0 c1=0

（舍），

m2=-3 c2=- 9 4

故抛物线对应的函数式：y=x²-2x-

9

4

．

（2）假设存在符合题意的平行四边形；
由（1）知，A（-3，

3

4

）、C（0，-

9

4

）、N（0，

9

4

）；
①当CN为平行四边形的边时，CN

∥

.

AP，已知：CN=

9

2

，则有：
将点A向上平移

9

2

个单位，得 P₁（-3，

21

4

）；
将点A向下平移

9

2

个单位，得 P₂（-3，-

15

4

）；
②当CN为平行四边形的对角线时，点A、P关于原点对称，
则 P₃（3，-

3

4

）；
又∵点P在抛物线上，
∴点P的坐标为（3，-

3

4

），
，综上当点P的坐标为（3，-

3

4

）时，以A、C、P、N为顶点的四边形是平行四边形．

点评：此题主要考查了函数解析式的确定以及平行四边形的判定和性质，在平行四边形的四顶点排序不确定的情况下，一定要分类进行讨论．