Question

（1997•安徽）（1）抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-2，2）、点B（2，-3）和点O（0，0），求它的解析式．
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-2，2）和点B（2，-3）时，求证：方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析：（1）分别把点A（-2，2）、点B（2，-3）和点O（0，0）分别代入解析式得到关于a、b、c的方程组

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3 c=0

，然后解方程组即可；
（2）先把点A（-2，2）和点B（2，-3）代入y=ax²+bx+c（a≠0）得

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3

，解关于b、c的方程组得到

b=- 5 4 c=-4a- 1 2

，再计算方程ax²+bx+c=0的根的判别式得到△=b²-4ac，把b、c的值代入后整理得到△=15a²+（a+1）²+

9

16

，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．

解答：（1）解：把点A（-2，2）、点B（2，-3）和点O（0，0）分别代入解析式得

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3 c=0

，
解方程组得

a=- 1 8 b=- 5 4 c=0

，

所以抛物线的解析式为y=-

1

8

x²-

5

4

x；

（2）证明：把点A（-2，2）和点B（2，-3）代入y=ax²+bx+c（a≠0）得

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3

，
解得

b=- 5 4 c=-4a- 1 2

，
在方程ax²+bx+c=0中，
∵△=b²-4ac
=

25

16

-4a•（-4a-

1

2

）
=16a²+2a+

25

16

=15a²+（a+1）²+

9

16

，
∴△＞0，
∴方程ax²+bx+c=0一定有两不相等的实数根．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：常设二次函数的解析式有一般式、顶点式和交点式．也考查了一元二次方程根的判别式．