Question

观察下列式子：
3²+4²=5²；8²+6²=10²；15²+8²=17²；24²+10²=26²；…
（1）找出规律，并根据此规律写出接下来第5个式子：______；
（2）写出这一规律：______；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=39999，BC=400，你能快速求出AB吗？

Answer 1

解：（1）3²+4²=（2²-1）²+（2×2）²=5²=（2²+1）²，
8²+6²=（3²-1）²+（2×3）²=10²=（3²+1）²，
15²+8²=（4²-1）²+（2×4）²=17²=（4²+1）²，
24²+10²=（5²-1）²+（2×5）²=26²=（5²+1）²，
…
接下来第5个式子为：（6²-1）²+（2×7）²=（6²+1）²，
即35²+12²=37²；

（2）这一规律为：当n≥2时，（n²-1）²+（2n）²=（n²+1）²；

（3）由勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
即39999²+400²=（200²-1）²+（2×200）²=（200²+1）²，
所以AB==40001．
分析：（1）等式的左边第一个加数是从2开始连续的自然数的平方与1差的平方，第二个加数是连续偶数的平方，计算结果是从2开始连续的自然数的平方与1和的平方；
（2）由（1）直接写出规律；
（3）写成（2）中的形式，可解决问题．
点评：此题考查的规律为：当n≥2时，（n²-1）²+（2n）²=（n²+1）²．