Question

如图，P为等边△ABC内的一点，以PB为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）猜想AP与CQ的大小关系，并证明结论．
（2）若PA：PB：PC=5：12：13，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）猜想：AP=CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC．
又AB=BC，BQ=BP，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；

（2）由PA：PB：PC=5：12：13
可设PA=5a，PB=12a，PC=13a，
在△PBQ中
由于PB=BQ=12a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为正三角形．
∴PQ=12a．
于是在△PQC中
∵PQ²+QC²=144a²+25a²=169a²=PC²
∴△PQC是直角三角形．
分析：（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；
（2）设PA=5a，PB=12a，PC=13a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．
点评：此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．